Algèbre linéaire Exemples

$2 x + y = 3$ , $6 x + 3 y = 9$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (\frac{1}{2}) & 9 - 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + \frac{y}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = \frac{3}{2} - x$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $2 (\frac{3}{2} - x)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- x)$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 + 2 (- x)$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = 3 - 2 x$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $3$ et $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 3$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - 2 x + 3)$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - 2 x + 3 \end{array}]$